Des nombres pour partager Ermel GS

Extraits du manuel Apprentissages numériques et résolution de problèmes Ermel GS

1. Objectifs généraux

Amener les enfants :

à comprendre et utiliser les contraintes inhérentes aux différentes situations de partage ou de distribution « faut-il distribuer autant à chacun ou non ? faut-il répartir tous les objets ou non ? faut-il en laisser le moins possible ou non ? »

à formuler les contraintes spécifiques aux situations de partage équitable « il faut en donner le même nombre à chacun et en laisser le moins possible »

à mettre en œuvre des procédures et des compétences.

2. Quelques moments dans une classe

3è trimestre en GS – Tous les enfants maîtrisent le dénombrement de 1 à 20. La bande numérique est un outil disponible.

Situation : fabrication des pochettes surprises qui seront des lots d’une tombola.

Les enfants sont répartis par groupe de 3.

Chaque groupe dispose de 6 pochettes et d’une collection de 22 à 26 objets disparates. Le maître donne la consigne : « chaque enfant doit fabriquer deux pochettes pour la tombola. Dans chaque pochette, il peut y avoir 3, 4 ou 5 objets ; pas moins de trois, pas plus de cinq. Il en doit rien rester sur la table ! »

Cf. p 114 de l’ouvrage pour description du comportement des enfants.

3. Quelques clés pour choisir

Progressivité des activités :

a) partager une collection d’objets déplaçables en x parties ayant 3,4 ou 5 objets. Tous les objets devront être utilisés.

b) partager une collection d’objets déplaçables avec un partage équitable (en avoir autant dans chaque partie) – avec ou sans reste

c) partager la totalité d’une collection d’objets non déplaçables en deux parties équipotentes.

Liste des jeux :

les partages équitables

les pochettes surprise

les maracas

les caisses

4. Procédures observées et attendues

· Partages inéquitables d’objets déplaçables : A1distribution des objets un à un / A2 distribution des objets deux par deux ou trois par trois / A3 placement du nombre maximal d’objets (5) dans les premières pochettes et réajustement pour remplir la ou les dernières pochettes è nécessité de prélever des objets dans des pochettes déjà garnies. / A4 placement du nombre minimal d’objets (3) et gestion du reste, par distribution par exemple / A5 dénombrements fréquents des objets des sous-collections pendant et à la fin de la distribution pour vérifier le respect des contraintes. Ces dénombrements se font le plus souvent par oralisation et désignation des objets par l’index ou par un mouvement de la tête.

Procédures attendues : Toutes les procédures ont leur intérêt. A4 est la plus efficace. A3 est génératrice de conflit, A5 est nécessaire.

· Partages équitables d’objets déplaçables : B1 distribution des objets un à un mais difficulté pour savoir quand s’arrêter / B2 distribution des objets un à un avec comptage : 1er tour : 1, 1, 1, 1 ; 2è tour : 2, 2, 2… / B3 : distribution paquets par paquets avec paquets constants à chaque tour / B4 : distribution paquets par paquets avec paquets différents à chaque tour. Cette procédure se combine avec l’une ou l’autre des procédures B5 et B6 lorsque la dernière distribution proposée échoue par insuffisance du nombre d’objets. / B5 : remise en cause de toutes les distributions effectuées et retour à la situation de départ / B6 : remise en cause de la dernière distribution inachevée : pose problème et nécessite B7 / B7 : contrôle de l’équité des parts en cours ou à la fin de l’activité et réajustements si nécessaire. / B8 : Prélèvements simultanés d’un même nombre d’objets dans le tas central (1 ou 2) à chaque signal et ce jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de quoi continuer. / B9 : Répartition par essais successifs « on essaye 12. Il en reste trop. On essaye 15.. » etc. jusqu’à ce que le nombre d’objets restant soit voisin du nombre de joueurs/ S’il est inférieur, le partage est terminé ; s’il est supérieur, chaque enfant doit prendre encore un objet de plus ; s’il est « trop » supérieur, ils recommencent au départ. Procédure peu fiable car elle suppose que tous les enfants maîtrisent le dénombrement d’un nombre assez élevé.

Procédures attendues et donc institutionnalisées par le maître pour être reconnues par tous : celles qui préservent à tout moment l’équipotence des collections en construction ou construites è Ce sont B3 ou B4 suivi de B7 ou B3 puis B6 suivi éventuellement de B7 ; ou B3 puis B2 puis B7, procédure experte.

· Partages équitables d’objets non déplaçables, représentés ou collés :

Pour compléter : C1 collage ou comptage de gommettes une à une (terme à terme) / C2 : procédure par essais : collage de 5 gommettes de chaque côté et gestion du reste / C3 : reproduction des dispositions spatiales.

Pour tracer la ligne de partage : C4 dénombrement pour construire une collection équipotente à une collection donnée ou une collection ayant deux fois plus d’éléments. / C5 repérage de dispositions symétriques ou obtenues par translation. / C6 : double comptage simultané en partant de chacun des bouts. Ce comptage en miroir par les deux index s’arrête quand les deux doigts se rencontrent : peu fréquente mais très efficace / C7 : double comptage successif prenant appui sur une estimation, par exemple 6. S’il reste des gommettes, 6 est trop petit ; s’il n’est pas possible d’arriver à 6 au 2è comptage, 6 est trop grand et réajustement. / C8 : estimation globale (sans dénombrement) de la moitié du nombre de gommettes. Si ça ne marche pas, on recommence avec un autre nombre. / C9 : estimation à vue de la position de la ligne de partage. Placement de la ligne de partage estimée et réajustement par dénombrement des deux parties. C’est cette procédure qui est la plus utilisée dans l’activité des bandes. Mais la confrontation est délicate à savoir déplacer la ficelle de façon à prendre une gommette de plus d’un côté ce qui annule donc un écart de 2 entre les parties. / C10 dénombrement de chacune des parties de la bande comme moyen de valider la position de la ligne de partage / C11 : utilisation de faits numériques mémorisés pour effectuer le partage (connaissance de certains doubles).

Remarque : pour la plupart des enfants, la résolution de ce problème nécessite la conjonction de plusieurs procédures.

Procédures attendues et institutionnalisées : dénombrement dans la phase de construction d’une collection équipotente à une collection donnée et dans celle de construction d’une collection ayant deux fois plus d’éléments (C4) / procédures par essais et réajustements dans les phases de partage des gommettes ou de recherche du trait de partage des bandes (C2, C3 d’une part ; C9 d’autre part).

3 types de conduite en travail de groupe :

à conduite d’élaboration d’une stratégie collective : proposition d’action ou prise en charge par un des membres du groupe (leaders de compétence ou d’autorité)

à conduite de réajustement d’un plan d’action : 1er cas : un enfant modifie un plan d’action devenu irréalisable du fait de l’évolution de la situation (il voulait prendre 2 objets de plus pour sa pochette mais il n’en reste qu’un, donc il s’adapte) / 2è cas : un enfant accepte difficilement de modifier un état de fait contraires aux consignes. Ne s’y résout souvent qu’au moment de la validation, sur intervention de l’adulte.

à conduites d’imitation : sont rares mais sont le fait d’enfants manquant d’assurance.

5 Variables didactiques

· Partages inéquitables : faire varier la taille de la collection de départ, le nombre de parties du partage. (cf. exemple page 121)

· Partages équitables : le maître peut choisir

o la taille de la collection à partager ;

o le nombre de parties : ceci détermine l’existence d’un reste nul ou non et fixe la valeur des parties ;

o la disposition des gommettes sur la bande : détermine la force et la place de la ligne de partage et rend plus ou moins aisée la mise en œuvre de telle ou telle procédure.

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