Extraits du manuel Apprentissages numériques et résolution de problèmes Ermel GS
Objectifs généraux
- Reconnaître une quantité puis constituer une collection ayant le même nombre d’éléments
- Mettre en œuvre une procédure adaptée
- Elaborer un langage pour exprimer les anticipations d’actions et les validations de solutions
Travailler les procédures de dénombrement en tant que procédé expert (comptine stable et récitée en accord avec le geste qui montre un à un les éléments, pas d’objets oubliés ni comptés plusieurs fois, statut cardinal du dernier mot énoncé…).
Compréhension de l’expression « autant que ».
Confronter les enfants avec une série de problèmes donnant des occasions d’utiliser le dénombrement pour la création de collections. Les erreurs sont traitées par les enfants avec l’aide du maître.
« Autant » se définira comme « ni plus, ni moins, juste ce qu’il faut » ou par « le même nombre que ».
Liste des jeux
Procédures attendues
S’il y a un trop grand décalage entre les procédures attendues et celles observées, il faut modifier les situations en jouant sur les variables, soit vers une simplification, soit vers une complexification.
Relatives au dénombrement : pas de prise en compte global de la tâche : l’enfant prend une poignée d’objets, comme s’il voulait rapprocher la réserve et agir pas à pas. Parfois, lorsque le nombre de place libre peut être perçu sans dénombrement, ils disent « il en faut… » mais pour autant ne rapporte pas juste ce qu’il faut.
La première perception numérique favorise parfois l’utilisation de la comptine pour dénombrer les cases vides. Il faudra alors s’exercer à mettre en œuvre les principes suivants :
- principe d’adéquation unique : correspondance un à un entre les mots de la comptine et les places vides, pas de places oubliées ni recomptées plusieurs fois è nécessité d’organiser le dénombrement (mise à part, marquage…)
- principe d’ordre quelconque : l’ordre dans lequel l’enfant dénombre les éléments d’une collection est sans importance
- principe du dernier mot énoncé : ce dernier mot représente la quantité d’éléments de la collection et permet de dire au camarade ce qu’il faut rapporter.
Dans le cas de Mathoeufs, c’est l’épuisement des jetons qui fait voir l’insuffisance des moyens employés. (cf p 95 pour les différentes procédures).
Relatives à la mémorisation du nombre : l’enfant qui se déplace doit garder en mémoire le nombre d’objets. Il devra l’utiliser ou le communiquer (à la marchande, à un camarade… Cette nécessité de communiquer permet au maître de déceler plus précisément les dysfonctionnements : l’enfant qui a gardé le nombre en mémoire pourra le dire. Les autres enfants du groupe sont également poussés à retenir ce même nombre car ils souhaitent pouvoir contrôler la quantité rapportée.
Relatives à l’écriture du nombre : variante : utilisation des étiquettes-nombres présentées par l’enfant à son camarade pour obtenir la quantité désirée. L’analyse des messages écrits peut donner des indications sur la conception du nombre. On trouve 1/ une image de la quantité correspondant à la disposition spatiale des objets ; 2/ un marquage à l’aide d’un signe pour chaque case vide les signes utilisés étant des objets (¡¡¡¡¡) des nombres ( 1 2 3 4 5). Celui qui reçoit le message peut soit dénombrer soit utiliser une correspondance terme à terme. 3/ un marquage de la quantité globale par l’écriture chiffrée du nombre (que l’enfant peut copier sur le calendrier, sur la bande numérique ou en prenant une étiquette nombre ou en demandant au maître).
Relatives à la validation : quand les objets rapportés sont en attente pour validation, on observe les procédures suivantes : 1/ recherche pour les objets d’une disposition spatiale identique à celle des cases libres ; 2/ correspondance objet-case à l’aide de l’index accompagnée d’expression orale « celui-là, là… » ; 3/ dénombrement alternatif des deux collections : objets/cases libres avec ou sans conclusion possible.
Relatives à la composition de plusieurs quantités : lorsque sur un seul support, la disposition des cases vides est favorable à un dénombrement par paquet « il en faut 3 et 3 et 2 ». On observe alors plusieurs procédures : 1/ dénombrement par support et mise en mémoire de plusieurs nombres ; 2/ dénombrement avec surcomptage en continuant la comptine lors du 2è support. Au retour, l’enfant devra partager la collection rapportée.
Relatives à la constitution de collections doubles : dans le cas des visages, certains enfants posent les doigts à la place des yeux, d’autres les dessinent puis les dénombrent. Procédures observées : 1/ compter deux fois la collection / 2/ compter en nommant deux nombres sur un même objet puis en marquant un temps de pause ; 3/ compter la collection puis utiliser un résultat connu : par exemple 6 et 6 ça fait 12 ; 4/ compter de deux en deux
Variables didactiques
Champ numérique : si le nombre est élevé par rapport à la comptine connu, les enfants ne penseront pas à dénombrer d’emblée. Si le nombre est trop petit, les élèves en percevront peut-être globalement la quantité mais ne prendront pas conscience que le nombre est un élément stratégiquement utile. Lors de la première présentation de cette situation, il est donc nécessaire qu’elle pose un réel problème aux enfants donc pas forcément réussie d’emblée. Par la suite, le nombre d’objets à dénombrer peut être choisi légèrement supérieur au champ numérique d’un élève pour l’inciter à utiliser la suite de la comptine.
Nombre de trajets : en phase découverte, il est préférable d’autoriser plusieurs trajets pour permettre l’ajustement. Ensuite, on peut imposer un trajet unique. Dans Mathoeufs, l’utilisation du nombre de jetons pour limiter les trajets favorise la mise en œuvre d’actions plus contrôlées, plus réfléchies.
Existence de la partie libre sur le support : sert à évaluer la réalisation de la tâche avant de poser les objets. Le maître aide les élèves en redisant la consigne et en favorisant les procédures de vérification et l’expression orale du résultat è moment de réflexion important
Disposition des cases vides sur le support : régulièrement, en paquets, plus ou moins serrées è oblige l’enfant à augmenter son degré de maîtrise du dénombrement.
Communication :
1/ pas de communication : travail effectué individuellement, procédure de contrôle suscitée par le maître (correspondance objet/place vide ou comptage des deux collections)
2/communication orale à une personne étrangère au groupe : pour prendre conscience que le nombre « véhicule » l’information nécessaire. L’existence d’un intermédiaire pousse à donner une information numérique.
3/ communication orale dans le groupe : suscitée par la nécessité de se mettre d’accord sur le nombre d’objets à ramener à tend à améliorer les procédés de dénombrement.
4/ communication écrite : les enfants doivent fabriquer un message pour faire comprendre ce qu’ils veulent. Ce sont les prémices du langage mathématique.
Constitution des groupes d’enfants : individuel / groupe hétérogène / groupe homogène
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